1
向量 = 一根箭 = 一个列表
2

3
  vec_a = [3, 2]
4

5
  意思是：向右走3步，向上走2步
6
  画出来就是一根从原点出发的箭
7

8
       2 ↑
9
         │ ● ← 箭头
10
         │╱
11
       1 │
12
    ─────┼──────3──→
13
         0    1    2    3

1
类比：
2

3
  去超市的路线 = [3, 2]
4
    第1个分量(3) = 向东走3条街
5
    第2个分量(2) = 向北走2条街
6

7
  去医院的路线 = [1, 4]
8
    第1个分量(1) = 向东走1条街
9
    第2个分量(4) = 向北走4条街
10

11
  两根箭指向不同方向 = 两句话说的是不同内容

1
关键：Embedding模型生成的向量维度永远固定！
2

3
  模型输出 1024 维 → 不管你输入什么句子，输出永远是1024个数字
4
  模型输出 1536 维 → 永远是1536个数字
5

6
  维度多 = 描述更精细 = 足以区分不同语义

1
一个房间宽3米、长4米
2
从左下角走到右上角的对角线有多远？
3

4
              ● ← 右上角
5
             ╱│
6
        对角线╱ │4米（竖边）
7
           ╱  │
8
   左下角 ●───┘
9
          3米（横边）
10

11
对角线 = √(横边² + 竖边²)
12
       = √(3² + 4²)
13
       = √(9 + 16)
14
       = √25
15
       = 5米

1
一句话记一辈子：
2

3
  横² + 竖² = 对角线²

1
2维向量：norm = √(分量1² + 分量2²)
2

3
  vec_a = [3, 2]
4
  norm = √(3² + 2²) = √(9+4) = √13 ≈ 3.61
5

6
  横着走了3步，竖着走了2步
7
  箭的长度 = 3.61步

1
5维向量：norm = √(分1² + 分2² + 分3² + 分4² + 分5²)
2

3
  vec = [0.9, 0.8, 0.7, 0.1, 0.2]
4

5
  norm = √(0.81 + 0.64 + 0.49 + 0.01 + 0.04)
6
       = √(1.99)
7
       ≈ 1.41
8

9
  逻辑完全一样！只是加了5个数字而不是2个

1
1024维也一样：√(分1² + 分2² + ... + 分1024²)
2

3
  维度再多，本质不变
4
  就是勾股定理的扩展版

1
A = [3, 2]
2
B = [2.8, 1.9]
3

4
点积 = 3 × 2.8  +  2 × 1.9
5
      = 8.4     +  3.8
6
      = 12.2

1
步骤拆解：
2

3
  第1步：同一位置的两个数字相乘
4
    位置0：3 × 2.8 = 8.4
5
    位置1：2 × 1.9 = 3.8
6

7
  第2步：所有乘积加起来
8
    8.4 + 3.8 = 12.2 → 点积
9

10
  乘 = 该方向上两箭的重叠程度（都强→乘积大）
11
  加 = 所有方向的总重叠量

1
5维向量也一样：
2

3
  A = [0.9, 0.8, 0.7, 0.1, 0.2]
4
  B = [0.85, 0.75, 0.65, 0.15, 0.25]
5

6
  点积 = 0.9×0.85 + 0.8×0.75 + 0.7×0.65 + 0.1×0.15 + 0.2×0.25
7
        = 0.765 + 0.6 + 0.455 + 0.015 + 0.05
8
        = 1.885
9

10
  逻辑完全一样！只是乘了5次而不是2次

1
完整流程三步：
2

3
  余弦相似度 = 点积 / (norm(A) × norm(B))
4

5
             = 逐位乘再求和 / (A长度 × B长度)
6

7
             = 削掉长度，只剩方向

1
                    A向量            B向量
2
                    [3,2]          [2.8,1.9]
3
                      │               │
4
                      ▼               ▼
5
              ┌──────────┐    ┌──────────────┐
6
    步骤1     │ 勾股定理  │    │  勾股定理     │
7
  (量长度)    │norm(A)=   │    │  norm(B)=    │
8
              │√(3²+2²)  │    │ √(2.8²+1.9²)│
9
              │≈ 3.61    │    │ ≈ 3.38       │
10
              └──────────┘    └──────────────┘
11
                      │               │
12
                      └───────┬───────┘
13
                              │
14
                              ▼
15
              ┌───────────────────────────┐
16
    步骤2     │          点积              │
17
  (算重叠)    │   dot = 3×2.8 + 2×1.9     │
18
              │       = 12.2              │
19
              └───────────────────────────┘
20
                              │
21
                              ▼
22
              ┌───────────────────────────┐
23
    步骤3     │   余弦相似度               │
24
  (削长度)    │  12.2 / (3.61 × 3.38)     │
25
              │  = 12.2 / 12.21           │
26
              │  ≈ 1.00  ✅ 非常相似！     │
27
              └───────────────────────────┘

1
import numpy as np
2

3
# 两个向量
4
a = np.array([3, 2])
5
b = np.array([2.8, 1.9])
6

7
# 步骤1：算长度（norm）
8
len_a = np.linalg.norm(a)  # √(9+4) ≈ 3.61
9
len_b = np.linalg.norm(b)  # √(7.84+3.61) ≈ 3.38
10

11
# 步骤2：算点积
12
dot = np.dot(a, b)         # 3×2.8 + 2×1.9 = 12.2
13

14
# 步骤3：余弦相似度
15
cosine = dot / (len_a * len_b)  # ≈ 1.0

1
"如何提升代码质量"    → Embedding模型 → 向量A → 一根箭（朝"编程"方向）
2
"今天天气真好"        → Embedding模型 → 向量B → 一根箭（朝"天气"方向）
3

4
两根箭方向差很远 → 余弦相似度低 → 语义不同
5
两根箭方向很近   → 余弦相似度高 → 语义相近
6

7
这就是 AI 判断"意思相近"的数学原理！

1
# 代码：直接算
2
def cosine_similarity(a, b):
3
    return np.dot(a, b) / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b))
4

5
# 数学原理：k被消掉了
6
cosine = (k × dot(A,A)) / (norm(A) × k × norm(A))
7
       = k/k × dot(A,A)/norm(A)²
8
       = 1 × dot(A,A)/norm(A)²
9

10
# 结果一样，原理解释了"为什么长度不影响结果"

1
对比两句话相似度
2
      │
3
      ▼
4
调用Embedding模型 → 获得两个向量列表
5
      │
6
      ▼
7
┌─────────────────┐
8
│  A = [3, 2]     │
9
│  B = [100, 66.7]│  ← B = k×A，k=33.3
10
└─────────────────┘
11
      │
12
      ├─→ 点积 dot(A,B) = 3×100 + 2×66.7
13
      │              = 3×(k×3) + 2×(k×2)
14
      │              = k×(3×3) + k×(2×2)  ← 交换律
15
      │              = k × (9 + 4)        ← 提取公因数
16
      │              = k × 13             ← 混进k！
17
      │
18
      ├─→ norm(A) = √(3²+2²) = 3.61
19
      │
20
      ├─→ norm(B) = √(100²+66.7²)
21
      │           = √((k×3)² + (k×2)²)
22
      │           = √(k² × (3²+2²))
23
      │           = k × √(3²+2²)
24
      │           = k × 3.61            ← 也混进k！
25
      │
26
      ▼
27
余弦 = dot / (norm(A) × norm(B))
28
     = (k×13) / (3.61 × k×3.61)
29
     = k/k × 13/(3.61×3.61)           ← k消掉了！
30
     = 1 × 1
31
     = 1.0  ✅ 方向相同！